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<Group에 대하여>

 

* Order of Group (|G|) : Group의 원소 개수.

 

ex) | <Zp*, *> |  =  p-1

(소수에 대해서는 모두 역원이 존재하므로. 단 0은 제외이므로 -1)

 

* Properties of Group

- 항등원은 유일하다.

- 역원은 각 원소에 대해서 유일하다.

 

- cancellation property : ab = ac => b = c / ba = ca => b = c

proof -- a의 역원을 양변의 앞에 곱해주면 a가 날아감.

 

* Subgroup

- G에서 원소 몇개 빼내서 만든 집합 H가 Group이면 H는 G의 서브그룹.

 

ex) G = <Z6, +>   H = {0,2,4}   --  H는 G의 Subgroup

    (Z6에서 2의 역원은 4, 4의 역원은 2...)

 

* Subgroup Condition

- 닫혀있고 Inverse가 존재하면 서브그룹이다.

- 사실은 닫혀있기만 해도 서브그룹이다. (증명?)

 

* Direct Product of Group

 

 

* Powers of Elements

 

 

* Homomorphism / Isomorphism

- f : Z => Z4와 같이 한 그룹에서 다른 그룹으로 향하는 함수가 있을 때.

Z에서 항등원인게 Z4에서도 항등원이고, Z에서 역원인게 Z4에서도 역원이고... 등등

연산관계가 똑같이 적용되는 경우에, Homomorphism.

 

- 여기에 역함수도 존재 (역으로 맵핑이 성립) 하는 경우 => Isomorphism.

- 두 집합이 같은 경우 => Endomorphism.

 

 

* Cuclic Group

 

 

* Order of Elements

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