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* Pairs of R.V?

- X, Y 두 개의 확률 변수 사이의 관계에 주목한다.

 

* Joint CDF

- F(x,y) = Pr(X<=x, Y<=y)

- Properties

ㄴ x, y 둘 중 하나라도 마이너스 무한대 => 0

ㄴ 둘 다 무한대 => 1

ㄴ 항상 0과 1 사이의 값을 가짐

ㄴ Pr(x1<X<x2, y1<Y<y2) = F(x2, y2) - F(x1, y2) - F(x2, y1) + F(x1, y1) -- 그림으로 보기

ㄴ Marginal CDF : F(x, 무한대) = F(x), F(무한대, y) = F(y)                   -- 그림으로 보기

 

ex) Uniform (unit square) -- 0<x<1, 0<y<1

 

Joint CDF ::

F(x,y) = 1 (x>1, y>1)

         = 0  (x<0 or y<0)

         = xy (0<x<1, 0<y<1)  --  Joint

   = x  (0<x<1, y>1)  --  Marginal

   = y  (x>1, 0<y<1)  --  Marginal

 

* Joint PDF : Joint CDF를 x, y에 대해서 한번씩 편미분

ex) 위의 예제의 Joint CDF = xy  -->  Joint PDF = 1

ex) 위와 같은 Uniform 분포이나 Unit Square가 아니라 가로 x, 세로 y인 경우?

    -> 면적분했을 때 1이 되어야 함 (Joint CDF) -> Joint PDF = 1/ab

 

- Marginal PDF : f(x)는 f(x,y) 을 y에 대해서 마이너스 무한대부터 무한대까지 적분하여 얻음

 

* Marginal PDF가 두 개 주어진다고 해서 원래의 Joint PDF를 알 수는 없다.

counterexample : Marginal이 같은데 Joint가 다른 경우가 존재.

 

* Joint PMF

 

* Joint PMF, PDF의 Conditional Distribution

:: Joint / Marginal.

다른 하나의 변수가 Condition이 됨

 

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